Théorème d'échange des limites

Théorèmes

Suite de fonctions

Théorème (échange des limites) :
On se donne une suite de fonctions $f_n:]a,b[\,\to{\Bbb R}$ (pour $]a,b[$ un intervalle éventuellement non borné) qui converge au moins simplement sur $]a,b[$ et telle que $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)=\ell_n$
Si :

chaque $f_n:]a,b[\to{\Bbb R}$ a une limite quand $x\to b^-$
la convergence est uniforme au moins sur un domaine $]c,b[\,\subset\,]a,b[$

Alors :

$\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)$ existe
$\lim_n\ell_n$ existe
on a la formule d'échange des limites :$$\lim_n\underbrace{\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)}_{\ell_n}=\lim_{x\to b^-}\underbrace{\lim_n f_n(x)}_{f(x)}$$

Théorème d'échange des limites (suites de fonctions réelles) :

$(f_n)_{n\in\Bbb N}$ est une suite de fonctions réelles définies sur un intervalle $]a,b[$ ouvert (éventuellement non borné)
$(f_n)_{n\in\Bbb N}$ converge au moins simplement sur $]a,b[$ vers une fonction $f$
$\ell_n:=\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)$
chaque $f_n$ a une limite quand $x\to b^-$ ($\ell_n$ est fini $\forall n$)
$(f_n)_{n\in\Bbb N}$ converge uniformément au moins sur un domaine $]b,c[\,\subset\,]a,b[$

$$\Huge\iff$$

$\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)$ existe
$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\ell_n$ existe
on a la formule d'échange des limites : $$\begin{align}\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\lim_{x\to b^-}f_n(x)&=\lim_{x\to b^-}\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f_n(x)\\ \underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\ell_n&=\lim_{x\to b^-}f(x)\end{align}$$

On se donne une suite de fonctions $f_n:]a,b[\,\to{\Bbb R}$ (pour $]a,b[$ un intervalle éventuellement non borné) qui converge au moins simplement sur $]a,b[$ et telle que $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)=\ell_n$
Si :

chaque $f_n:]a,b[\to{\Bbb R}$ a une limite quand $x\to b^-$
la convergence est uniforme au moins sur un domaine $]c,b[\,\subset\,]a,b[$

Alors montrez que :

$\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)$ existe
$\lim_n\ell_n$ existe
On a la formule d'échange des limites :$$\lim_n\underbrace{\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)}_{\ell_n}=\lim_{x\to b^-}\underbrace{\lim_n f_n(x)}_{f(x)}$$

(théorème d'échange de limites)

1. : CVU $\Rightarrow$ respecte Cauchy
Preuve de 1. : on utilise $f_n\overset{\text{CVU}}\longrightarrow f$ sur $]c,b[$ $\Rightarrow$ $(f_n)_n$ vérifie le critère de Cauchy de convergence uniforme
Donc pour $\varepsilon\gt 0$ donné, on peut trouver $N_{\varepsilon/2}$ tel que $$\forall x\in[c,b],\qquad q\gt p\geqslant N_{\varepsilon/2}\implies \lvert f_q(x)-f_p(x)\rvert\lt \frac\varepsilon2$$

Faire tendre $x\to b^-$ pour montrer que $(\ell_n)_n$ est de Cauchy, et donc qu'elle admet une limite
Si pour $q\gt p\leqslant N_{\varepsilon/2}$, on fait $x\to b^-$, on obtient : $$\begin{align}\forall x\in\;]c,b[,\qquad&\lvert\underbrace{f_q(x)}_{\longrightarrow\ell_q}-\underbrace{f_p(x)}_{\longrightarrow\ell _p}\rvert\lt \frac\varepsilon2\\ \underset{x\to b^-}\implies&\lvert \ell_q-\ell_p\rvert\leqslant\frac\varepsilon2\lt \varepsilon\end{align}$$ donc au final, on a bien pour $\varepsilon\gt 0$ donné $q\gt p\geqslant N_{\varepsilon/2}\implies\lvert\ell_q-\ell_q\rvert\lt \varepsilon$, ce qui prouve que la suite $(\ell_n)_n$ est de Cauchy et donc qu'elle converge vers une certaine limite $\ell=\lim_n\ell_n$

Preuve de 2. Et 3. : montrer que $\lvert\ell-f(x)\rvert$ est majorée par $\varepsilon$ en découpant via inégalité triangulaire
2., 3. : on va prouver que l'on a : $\ell=\lim_{x\to b^-}f(x)$
$$\begin{align}\lvert\ell-f(x)\rvert&=\lvert\ell-\ell_n+\ell_n-f_n(x)+f_n(x)-f(x)\rvert\\ &\leqslant\lvert\ell-\ell_n\rvert+\lvert\ell_n-f_n(x)\rvert+\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\end{align}$$

Montrer que chaque membre est majoré par $\frac\varepsilon3$
On se donne $\varepsilon\gt 0$
On a $$\ell=\lim_n\ell_n\implies\exists N^1_\varepsilon,\qquad n\geqslant N^1_\varepsilon\implies\lvert\ell-\ell_n\rvert\lt \frac\varepsilon3\tag1$$
On a $f_n\overset{\text{CVU}}\longrightarrow f$ sur $]c,b[$, donc $$\forall x\in\;]c,b[,\exists N^2_\varepsilon,\qquad n\geqslant N^2_\varepsilon\implies\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\lt \frac\varepsilon3\tag2$$
On fixe $n=n_0\geqslant\max(N^1_\varepsilon,N^2_\varepsilon)$ pour assurer $(1)$ et $(2)$
Comme $\lim_{x\to b^-}f_n(x)=\ell_{n_0}$, on peut trouver $\beta=b-\eta$ avec $\eta\gt 0$ (cas $b\lt +\infty$) ou $\beta\gg0$ (cas $b=+\infty$) tel que $$x\in\;]\beta,b[\implies\lvert\ell_{n_0}- f_{n_0}(x)\rvert\lt \frac\varepsilon3$$

Conclusion : le tout est bien majoré par $\varepsilon$

On a alors $$\lvert\ell-f(x)\rvert\leqslant\varepsilon$$ comme ceci est valable $\forall\varepsilon\gt 0$, on en conclut bien $\lim_{x\to b^-}f(x)=\ell$

Série de fonctions

Théorème d'échange de limites :
On se donne une série $S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n$ de fonctions $f_n:X\to{\Bbb R}$
On suppose $X\subset{\Bbb R}$ et on se donne $x\in\,]a,b[$ (éventuellement $b=+\infty$)
Si $\ell_n=\displaystyle\lim_{x\to b^-}f_n(x)$ existe et si la convergence de $S$ est uniforme au moins sur un domaine $]c,b[$, alors :

$\sum\ell_n$ converge
$\displaystyle\lim_{x\to b^-}S(x)$ existe
$$\lim_{x\to b^-}\underbrace{\left(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n(x)\right)}_{S(x)}=\sum^{+\infty}_{n=0}\underbrace{\lim_{x\to b^-}f_n(x)}_{\ell_n}$$

Théorème d'échange des limites (séries de fonctions réelles) :

$S:=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n$ est une série de fonctions $f_n:X\to{\Bbb R}$
$X\subset{\Bbb R}$
$x\in\,]a,b[$ avec éventuellement $b=+\infty$
$\ell_n:=\lim_{x\to b^-}f_n(x)$ existe $\forall n$
la convergence est uniforme au moins sur un domaine $]c,b[\,\subset X$

$$\Huge\iff$$

$\sum_n\ell_n$ converge
$\lim_{x\to b^-} S(x)$ existe
on a la formule d'échange des limites : $$\begin{align}\lim_{x\to b^-}\left(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n(x)\right)&=\sum_{n=0}^{+\infty}\lim_{x\to b^-}f_n(x)\\ \lim_{x\to b^-} S(x)&=\sum^{+\infty}_{n=0}\ell_n\end{align}$$

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